Proposición 20

Enunciado

El producto de cualquier familia de espacios conexos es un espacio conexo con la topología producto.[^1]

Demostración

Primero, lo probamos para el producto de dos conexos.

Sean $(X, T), (Y, T^{'})$ espacios conexos. Tomamos un $x \in X$ , y vemos que ${x} \times Y$ es homeomorfo a $Y$ puesto que se trata de una recta vertical, paralela al eje de $Y$ en los planos cartesianos; por tanto, ${x} \times Y$ también es conexo. Análogamente, para un cierto $y_{0} \in Y$ fijo, el producto $X \times {y_{0}}$ es homeomorfo a $X$ , por lo que $X \times {y_{0}}$ será conexo. De esta manera,

Z_{x} = (X \times {y_{0}}) \cup ({x} \times Y) \neq \emptyset

también será conexo por la proposición 17, pues es la unión de dos conexos con el punto ${x} \times {y_{0}}$ común. Ahora, variando únicamente $x$ , se tiene que la unión es

(X \times {y_{0}}) \cup (⋃_{x \in X} Z_{x}) = X \times Y .

Como todos son subconjuntos conexos que intersecan con otro conexo $X \times {y_{0}}$ fijo, por el criterio del peine, el producto $X \times Y$ es conexo (1).

A continuación, lo generalizamos a un producto finito por inducción.

Se utiliza el hecho de que $X_{1} \times \dots \times X_{n}$ es homeomorfo a $(X_{1} \times \dots \times X_{n - 1}) \times X_{n}$ . Podemos ver que las topologías generadas son la misma: una base de la primera está formada por productos de abiertos[^2] (por definición de la topología producto), mientras que otra de la segunda se puede conseguir a partir del producto de la base recién mencionada con un abierto de $X_{n}$ .
Así, se obtiene la conexión de $X_{1} \times \dots \times X_{n}$ (2), aplicando inducción junto a (1).

Por último, para el caso del producto arbitrario buscamos un subconjunto denso y conexo.

Sea ${X_{i}}_{i \in I}$ una familia de espacios topológicos conexos y el punto $a \in \prod_{i \in I} X_{i}$ . Asimismo, sea $J = {j_{1}, \dots, j_{k}} \subset I$ un subconjunto finito. Definimos el conjunto$$
X_{J}={; \mathrm{x}\in \prod_{i\in I}X_{i} : \mathrm{x}{i}=\mathrm{a} \text{ si } i\notin J;}.

T e n e m o s q u e $ X_{J} $ e s * h o m e o m o r f o * a l p r o d u c t o $ X_{j_{1}} \times \dots \times X_{j_{k}} $, p u e s t o q u e s e p u e d e n i d e n t i f i c a r l o s a b i e r t o s b á s i c o s d e $ X_{J} $ c o m o i n t e r s e c c i o n e s [^{3}] d e a b i e r t o s d e l a b a s e d e l p r o d u c t o $ \prod_{i \in I} X_{i} $ c o n e l p r o p i o $ X_{J} $, a l t e n e r p a r a e l r e s t o d e í n d i c e s q u e u n a * c o o r d e n a d a c o n s t a n t e * . C o m o c o n s e c u e n c i a, $ X_{J} $ e s u n s u b c o n j u n t o c o n e x o p o r * * (2) * * . S e a e n t o n c e s $ X^{\infty} = ⋃_{J \subset I} X_{J} $, c o n $ J $ f i n i t o . P o r l a [[M a t h / T o p o l o g í a d e S u p e r f i c i e s / T e m a 3 / D e m o s t r a c i o n e s / P r o p o s i c i ó n 17 ∥ p r o p o s i c i ó n 17]], c o m o $ a \in ⋂_{J \subset I} X_{J} $, s e d e d u c e q u e $ X^{\infty} $ e s * * c o n e x o * * . P a r a f i n a l i z a r, q u e r e m o s p r o b a r q u e $ X^{\infty} $ e s * * d e n s o * * e n $ \prod_{i \in I} X_{i} $ . P a r a e l l o, t o m a m o s o t r o p u n t o $ x \in \prod_{i \in I} X_{i} $, a s í c o m o u n e n t o r n o $ U \in B (x) $ [^{4}] e n l a b a s e d e l a t o p o l o g í a p r o d u c t o, p o r l o q u e

U=\prod_{i\in I}U_{i},\ \text{con } U_{i}\in \mathcal{T}{i} \text{ y } U=X_{i}\space\forall i\notin J \text

E n t o n c e s,

U\cap X_{J}\supset {; \mathrm{x}\in\prod_{i\in I}X_{i} : \mathrm{x_{i}}\in U_{i} \text{ si } i\in J \wedge \mathrm{x}{i}=\mathrm{a} \text{ si } i\notin J ;}≠\varnothing

E n p a r t i c u l a r, $ U \cap X^{\infty} \neq \emptyset $ . C o m o c o n s e c u e n c i a d e l a [[M a t h / T o p o l o g í a d e S u p e r f i c i e s / T e m a 1 / D e m o s t r a c i o n e s / P r o p o s i c i ó n 2 ∥ p r o p o s i c i ó n 2.5 .]], $ x \in \overset{―}{X^{\infty}} $; a s i m i s m o, a l h a b e r s e e l e g i d o u n * p u n t o a r b i t r a r i o * d e l p r o d u c t o, s e t i e n e q u e

\prod_{i\in I}X_{i}=\overline{X^∞},

p o r l o q u e e s * d e n s o * . P o r l a [[M a t h / T o p o l o g í a d e S u p e r f i c i e s / T e m a 3 / D e m o s t r a c i o n e s / P r o p o s i c i ó n 19 ∥ p r o p o s i c i ó n 19]], l a c l a u s u r a $ \overset{―}{X^{\infty}} $, v é a s e e l p r o d u c t o a r b i t r a r i o, t a m b i é n s e r á u n c o n e x o . $ ◼ $ [^{1}] : E s t e r e s u l t a d o s i e m p r e e s c i e r t o s i e l p r o d u c t o e s f i n i t o; n o o b s t a n t e, n o s i e m p r e p u e d e e x t e n d e r s e . D e p e n d i e n d o d e s i s e t o m a l a [[M a t h / T o p o l o g í a d e S u p e r f i c i e s / T e m a 1 / U n i d a d 2 / T o p o l o g í a p o r c a j a s ∥ t o p o l o g í a p o r c a j a s]] o l a [[M a t h / T o p o l o g í a d e S u p e r f i c i e s / T e m a 1 / U n i d a d 2 / T o p o l o g í a p r o d u c t o ∥ t o p o l o g í a p r o d u c t o]], l a r e s p u e s t a s e r á n e g a t i v a o a f i r m a t i v a, r e s p e c t i v a m e n t e . [^{2}] : A l s e r u n * p r o d u c t o f i n i t o *, l a t o p o l o g í a p r o d u c t o e s i g u a l a l a d e c a j a s, p o r l o q u e c o m o b a s e s i r v e u n a b i e r t o d e c a d a c o o r d e n a d a . [^{3}] : P o r l a [[M a t h / T o p o l o g í a d e S u p e r f i c i e s / T e m a 1 / U n i d a d 3 / S u b e s p a c i o t o p o l ó g i c o ∥ t o p o l o g í a r e l a t i v a]] . [^{4}] : S e p o d r í a h a b e r t o m a d o u n $ U \in E (x) $, s a b i e n d o q u e e x i s t e u n $ V $ t a l q u e $ x \in V \subset U $, s i e n d o $ V $ u n a b i e r t o b á s i c o, e s d e c i r, u n p r o d u c t o d e a b i e r t o s . [^{5}] : E x c e p t o l a s c o o r d e n a d a s d o n d e e l v a l o r e s $ a_{i} $, s e t e n d r á q u e $ U_{j_{l}} = X_{j_{l}} $ .